การคูณจำนวนเต็ม

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

                                                 



                                              

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า คือรูปสามเหลี่ยมชนิดหนึ่งที่ด้านทั้งสามมีความยาวเท่ากัน ในเรขาคณิตแบบยุคลิด รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจัดเป็นรูปหลายเหลี่ยมมุมเท่า (equiangular polygon) กล่าวคือ มุมภายในแต่ละมุมของรูปสามเหลี่ยมมีขนาดเท่ากันคือ 60° ด้วยคุณสมบัติทั้งสอง รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจึงจัดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปรกติ (regular polygon) และเรียกอีกชื่อหนึ่งได้ว่าเป็น รูปสามเหลี่ยมปรกติ

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ยาวด้านละหน่วย จะมีส่วนสูง (altitude) เท่ากับหน่วย และมีพื้นที่เท่ากับตารางหน่วย

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีความสมมาตรมากที่สุด คือมีสมมาตรแบบสะท้อนสามเส้น และสมมาตรแบบหมุนที่อันดับสามรอบศูนย์กลาง กรุปสมมาตรของรูปสามเหลี่ยมนี้จัดว่าเป็นกรุปการหมุนรูปของอันดับหก (dihedral group of order 6) หรือ D₃

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถพบได้ในโครงสร้างทางเรขาคณิตอื่นๆ หลายอย่าง เช่น รูปวงกลมที่มีรัศมีเท่ากันสองวงตัดกัน โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นรอบวงของอีกวงหนึ่ง ทำให้เกิดส่วนโค้งขนาดเท่ากัน และสามารถแสดงได้ด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปสามเหลี่ยมนี้ยังเป็นส่วนหนึ่งของการสร้างทรงหลายหน้า ทรงตันเพลโตสามในห้าชิ้นประกอบขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า หนึ่งในนั้นคือทรงสี่หน้าปรกติ ซึ่งประกอบด้วยหน้ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งสี่หน้า นอกจากนั้นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถนำมาเรียงติดต่อกันบนระนาบ จนเกิดเป็นรูปแบนราบสามเหลี่ยม (triangular tiling)

การหารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมใดๆ สามารถหาได้จากทฤษฎีบทสามส่วนของมอร์ลีย์ (Morley's trisector theorem)

การสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถสร้างขึ้นได้ง่ายด้วยสันตรงและวงเวียน เริ่มต้นจากวาดวงกลมรัศมี r หน่วยด้วยวงเวียน จากนั้นวาดวงกลมอีกวงหนึ่งด้วยรัศมีเท่ากัน โดยให้จุดศูนย์กลางของวงใหม่อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมแรก วงกลมทั้งสองจะตัดกันสองจุด ลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดศูนย์กลางทั้งสอง และลากจากจุดศูนย์กลางทั้งสองไปยังจุดตัดจุดหนึ่งบนเส้นรอบวง ส่วนของเส้นตรงทั้งสามเส้นจะประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ายาวด้านละ r หน่วย

รูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนคล้ายด้านเท่า

รูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนหมายถึงรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของด้านและพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวของด้านเป็นจำนวนตรรกยะ จะให้พื้นที่เป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจึงไม่มีทางเป็นฮีโรเนียน อย่างไรก็ตาม มีลำดับของรูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนชุดหนึ่งและเป็นชุดเดียวที่ "คล้ายด้านเท่า" เพราะว่าด้านทั้งสามที่มีความยาวเท่ากับ n − 1, n, n + 1 และเป็นจำนวนเต็ม จากตัวอย่างต่อไปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนคล้ายด้านเท่า

ความยาวของด้าน			พื้นที่
n − 1	n	n + 1
3	4	5	6
13	14	15	84
51	52	53	1170
193	194	195	16296

ลำดับจำนวนของ n สามารถหาได้จากการคูณจำนวนก่อนหน้าด้วย 4 และลบด้วยสองจำนวนก่อนหน้า นั่นคือ

ตัวอย่างเช่น 52 = 4 × 14 − 4 และ 194 = 4 × 52 − 14 เป็นต้น ลำดับจำนวนนี้สามารถสร้างขึ้นจากผลเฉลยของสมการของเพลล์ซึ่งถูกถ่ายทอดมาจากการขยายเศษส่วนต่อเนื่องของ √3

ที่มา : http://th.wikipedia.org/wiki

วันที่ 30 สิงหาคม  2556

การบวกจำนวนเต็ม

เรื่อง การบวกจำนวนเต็ม

การบวกจำนวนเต็มชนิดเดียวกัน

หลักการ คือ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มนั้นมาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบตามชนิดของจำนวนที่นำมาบวกกัน

1. การบวกจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่างที่ 1     10 + 12 =

ค่าสัมบูรณ์ของ 10 หรือ    |10| = 10

ค่าสัมบูรณ์ของ 12 หรือ    |12| = 12

          ดังนั้น  |10| + |12| = 10 + 12

                                              = 22

        นั่นคือ   10 + 12   =  22

ถ้าพิจารณาการบวกโดยใช้เส้นจำนวน ก็จะได้ดังนี้

ตัวอย่างที่ 2       3 + 4 =

 0            1            2            3           4            5           6           7

ดังนั้น         3 + 4   =    7

การใช้เส้นจำนวนในการหาผลบวกระหว่างจำนวนเต็มวกกับจำนวนเต็มบวกการเคลื่อนที่ของลูกศร จะไปในทิศทางเดียวกัน คือ เคลื่อนที่ไปทางขวาตลอด ดังนั้นเมื่อจบการเคลื่อนที่ ผลลัพธ์ที่ได้จึงเป็นจำนวนเต็มบวกที่มีระยะห่างจาก 0 เป็นระยะทางเท่ากับผลบวกของระยะทางที่ทั้งสองห่างจาก 0

2. การบวกจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ

หลักการ คือ นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเต็มลบ

ตัวอย่างที่ 3       (-15)  +  (-20)   =

    ค่าสัมบูรณ์ของ -15   หรือ     |-15| =   15

    ค่าสัมบูรณ์ของ -20    หรือ    |-20|  =   20

ดังนั้น   |15|  + |20|  =  15 + 20   =   35

แต่ผลลัพธ์ที่ได้ต้องเป็นจำนวนเต็มลบ

ดังนั้น   (-15)   +  (-20)   =    -35

 ถ้าพิจารณาเส้นจำนวน ก็จะได้ดังนี้

ตัวอย่างที่ 4    (-3) + (-3)   =

   -7         -6         -5         -4         -3         -2         -1         0         1

                    ดังนั้น (-3) + (-3) = -6

จะเห็นว่าการเคลื่อนที่ของลูกศรจะไปในทิศทางเดียวกันคือ เคลื่อนไปทางซ้ายตลอด ดังนั้นเมื่อจบการเคลื่อนที่ผลลัพธ์ที่ได้จึงเป็นจำนวนเต็มลบที่มีระยะห่างจาก 0 เป็นระยะทางเท่ากับผลบวกของระยะทางที่จำนวนทั้งสองอยู่ห่างจากศูนย์เราจึงสามารถสรุปเป็นวิธีการที่จะใช้ในการหาผลบวกระหว่างจำนวนเต็มลบ

สรุป

1. การบวกจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก คือ การนำค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนเต็มบวก

2. การบวกจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ คือ การนำค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนเต็มลบ

การบวกจำนวนเต็มต่างชนิดกัน

หลักการ คือ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มทั้งสองนั้นมาลบกันและผล

ลัพธ์จะเป็น จำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มาก

ตัวอย่างที่ 1 -9 + 5 =

ค่าสัมบูรณ์ของ -9 หรือ |-9|  = 9

ค่าสัมบูรณ์ของ 5 หรือ |5|  = 5

นำค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าเป็นตัวตั้งแล้วลบด้วยค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่า

จะได้  |-9| - |5| = 9 – 5= 4

ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนเต็มลบ ตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า

ดังนั้น (-9) + 5 = -4

วิธีสั้นๆ คือ (-9) + 5 = - ( |-9| - |5| )

                                =   - ( 9 - 5 )

                                =   -4

ถ้าพิจารณาเส้นจำนวน ก็จะได้ดังนี้

ตัวอย่างที่ 2     5 + (-2) =

  -2     -1        0       1        2       3        4       5        6       7

หลักการ ใช้ 0 เป็นจุดเริ่มต้น เคลื่อนไปทางขวา 5 หน่วย แล้วเคลื่อนย้อนกลับมาทางซ้าย 2 หน่วย จะหยุดที่ 3

ดังนั้น 5 + (-2) = 3

สรุป

การบวกจำนวนเต็มต่างชนิดกัน คือการนำเอาจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าเป็นตัวตั้ง แล้วลบส่วนที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า ผลลัพธ์ที่ได้ เป็นจำนวนเต็มบวก หรือจำนวนเต็มลบ ตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า

              ที่มา : http://tc.mengrai.ac.th/kruawan/index3.htm

วันที่ 30 สิงหาคม  2556

ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น

การทดลองสุ่ม ( random experiment ) คือการทดลองที่ไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ได้อย่างถูกต้อง

          ตัวอย่าง การโยนเหรียญขึ้นไปในอากาศ ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะยังไม่ทราบว่าเหรียญจะหงายหัวหรือก้อย
 การทอดลูกเต๋า 1 ลูก ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะยังไม่ทราบว่าลูกเต๋าจะขึ้นแต้ม 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรือ 6
แซมเปิลสเปซ ( sample space ) คือเซตของผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม
        ตัวอย่าง เช่น ในการโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง ถ้ามีผลลัพธ์ที่เราสนใจคือ การขึ้นหัวหรือก้อย
 จะได้แซมเปิลสเปซ คือ {(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} เมื่อ (H,T) หมายถึงเหรียญอันที่ 1 ขึ้นหัว และเหรียญอันที่ 2 ขึ้นก้อย
ในการโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง ถ้ามีผลลัพธ์ที่เราสนใจคือ จำนวนก้อยที่ขึ้น จะได้แซมเปิลสเปซ คือ { 0 , 1 , 2 }
เมื่อ 0 หมายถึงไม่ขึ้นก้อยทั้ง 2 อัน (นั่นคือขึ้นหัวทั้งสองอัน)
1 หมายถึงขึ้นก้อยเพียง 1 อัน (ขึ้นหัว 1 อัน)    
2 หมายถึงขึ้นก้อยทั้ง 2 อัน
เหตุการณ์ ( event ) คือสับเซตของแซมเปิลสเปซ

 ความน่าจะเป็น ของเหตุการณ์

คือ โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่สนใจเท่ากับเท่าใด

 หลักการหาความน่าจะเป็น

ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ ซึ่งแต่ละผลลัพธ์ใน S มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน       E เป็นสับเซตของ S
ให้ P(E) เป็นสัญลักษณ์แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เราสามารถหา P(E) 









ที่มา  : http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/mathonline/learn/seventh.html

วันที่ 30 สิงหาคม 2556